Lie gruplarının bazı uygulamaları
Yükleniyor...
Dosyalar
Tarih
2023
Yazarlar
Dergi Başlığı
Dergi ISSN
Cilt Başlığı
Yayıncı
Trakya Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü
Erişim Hakkı
info:eu-repo/semantics/openAccess
Özet
Bu tezde simetri kavramı vurgulanmış ve grup teorisi metodu yardımıyla bazı özel Lie grupları ile bağlantılı kuantum sistemler incelenmiştir. Tezin ilk bölümünde, simetri kavramı, Lie grupları ve bu gruplar ile ilişkili bazı kuantum sistemler hakkında ön bilgi verilmiştir. İkinci bölümde, SL(2, R) Lie grubunun homojen uzayında Gram ve genelleştirilmiş Cartan ayrışımları kullanılarak Laplace-Beltrami operatörleri elde edilmiştir. Bu Laplace-Beltrami operatörleri yardımıyla elde edilen kuantum sistemler verilmiş ve bu sistemlerin bağlı ve saçılma durumları elde edilmiştir. Bağlı durumlara karşılık gelen analitik çözümlerin grafikleri verilmiştir. Üçüncü bölümde, SO(3, 2) Lie grubunun SO(3, 2)/SO(3, 1) simetrik uzayının küresel ve horiküresel koordinatlardaki parametrizasyonları kullanılarak Casimir operatörleri elde edilmiştir. Bu Casimir operatörler yardımıyla elde edilen kuantum sistemler verilmiş ve sistemlerin analitik çözümleri elde edilmiştir. Dördüncü bölümde, SU(3) Lie grubu ile ilişkili bir kuantum kontrol problemi ele alınmıştır. Bir simetri indirgeme tekniği geliştirilerek G = S grubu yardımıyla ilgili problem, boyutu or?inal durum uzayının boyutunun yarısı olan bir reel uzayda tanımlı bir probleme indirgenmiştir. Çözümün nümerik olarak hesaplanması için bir yöntem sunulmuş ve yöntem bir örnekle desteklenmiştir.
In this thesis, symmetry is emphasized, and quantum systems associated with some special Lie groups are investigated with the help of the group theory method. The first chapter of the thesis gives preliminary information about symmetry, Lie groups, and quantum systems associated with Lie groups. In the second chapter, Laplace-Beltrami operators are obtained using Gram and generalized Cartan decompositions on the homogeneous space of the Lie group SL(2, R). The quantum systems obtained with the help of the Laplace-Beltrami operators are given, and the bound and scattering states of the systems are obtained. The graphs of the analytical solutions corresponding to the bound states are given. In the third chapter, Casimir operators are obtained by using the parametrizations in spherical and horispherical coordinates of the symmetric space SO(3, 2)/SO(3, 1) of the Lie group SO(3, 2). The quantum systems obtained by the Casimir operators are given, and the analytical solutions of the systems are obtained. In the fourth chapter, a quantum control problem associated with the Lie group SU(3) is considered. By developing a symmetry reduction technique, the problem is reduced to one defined in a real space of half the dimension of the original state space with the help of the group G = S . A method to calculate the solution numerically is presented, which is supported by an example.
In this thesis, symmetry is emphasized, and quantum systems associated with some special Lie groups are investigated with the help of the group theory method. The first chapter of the thesis gives preliminary information about symmetry, Lie groups, and quantum systems associated with Lie groups. In the second chapter, Laplace-Beltrami operators are obtained using Gram and generalized Cartan decompositions on the homogeneous space of the Lie group SL(2, R). The quantum systems obtained with the help of the Laplace-Beltrami operators are given, and the bound and scattering states of the systems are obtained. The graphs of the analytical solutions corresponding to the bound states are given. In the third chapter, Casimir operators are obtained by using the parametrizations in spherical and horispherical coordinates of the symmetric space SO(3, 2)/SO(3, 1) of the Lie group SO(3, 2). The quantum systems obtained by the Casimir operators are given, and the analytical solutions of the systems are obtained. In the fourth chapter, a quantum control problem associated with the Lie group SU(3) is considered. By developing a symmetry reduction technique, the problem is reduced to one defined in a real space of half the dimension of the original state space with the help of the group G = S . A method to calculate the solution numerically is presented, which is supported by an example.
Açıklama
Anahtar Kelimeler
Simetri, Lie grupları ve cebirleri, Laplace-Beltrami ve Casimir operatörleri, Kuantum ve kontrol sistemleri, Symmetry, Lie groups and algebras, Laplace-Beltrami and Casimir operators, Quantum and control systems
